¿Qué es la Homotecia? Tipos y Características

La homotecia es conocida también como el alargamiento de figuras, contracción de figuras o reescalamiento de figuras en el plano; en todos los casos, la figura se transforma en otras, a escala y manteniendo sus proporciones.

La homotecia permite proyectar una figura original en varias figuras afines en un plano, cuyas distancias entre sí dependen de un punto fijo, multiplicado por un mismo factor.
La homotecia permite ampliar, reducir o virar una figura sin perder la medida de los ángulos ni la razón de los lados.

La homotecia tiene un centro 0, que corresponde a un punto cualquiera escogido en el plano y desde el cual se trazarán tantos segmentos de rectas como vértices que haya en la figura que se desea proyectar. Desde el centro de la homotecia se calculan todas las distancias de los puntos originales de las figuras.

La homotecia tiene un factor K, que es el que determina la ampliación o reducción de la figura proyectada. K es el factor de conversión entre las medidas de los lados correspondientes a la figura.

Una muestra de una interación de una homotecia de razón 0.9
Fuente | Krzysztof Blachnicki [Public domain] – Una muestra de una interación de una homotecia de razón 0.9
La homotecia en el plano puede resultar isométrica o no isométrica. En el caso de la primera, la figura geométrica, bien sea polígonos o circunferencias mantienen la forma y el tamaño. En el segundo caso, se alteran las dimensiones de las figuras y por ende la superficie.

La homotecia puede ser aplicada en muchos campos científicos, a manera de ejemplo en la Astronomía, el uso del telescopio lleva implícito el uso de la homotecia.

En el dibujo técnico, la homotecia se utiliza para proyecciones industriales, construcciones civiles y diseños gráficos es de mucha utilidad al permitir proyectar y virar figuras a escala.

En las ciencias exactas, especialmente, la matemática, se vuelve a reconocer la necesidad de volver a recuperar el sentido espacial de las formas en el espacio.

Finalmente, hay quienes proponen descubrir la homotecia en la vida cotidiana, y citan el ejemplo del cine. Para proyectar unas imágenes tan grandes se necesita calcular que la imagen proyectada sea del tamaño exacto de la pantalla. Esta relación escalar es bien entendida desde la homotecia.

 

Características de la Homotecia

  • Dos figuras homotéticas al ser comparadas se pueden verificar que guardan relación de semejanza.
  • Para toda Homotecia, la imagen proyectada de una recta, es una recta paralela a la imagen original.
  • La imagen de un segmento o lado proyectado es, un segmento o lado paralelo al original de la figura, y tiene un factor K veces su longitud.
  • La imagen de un ángulo proyectado tiene la misma amplitud del ángulo original.
  • El centro de la Homotecia, aun cuando es un punto cualquiera escogido en el plano; luego, resulta invariable.
  • Cuando se amplía, se reduce o se vira la proyección de una figura original, se está en presencia de una composición de movimientos.

 

Tipos de Homotecia

La Homotecia puede ser clasificada según el valor del factor K. En consecuencia, puede ser Homotecia Directa u Homotecia Inversa.

Homotecia Directa o Positiva

En la homotecia positiva todos los lados o segmentos proyectados de la imagen original son paralelos a ella, y el centro de lo homotecia se ubica detrás o delante de la figura.

Homotecia Inversa o Negativa

En la Homotecia inversa el centro o punto centro se encuentra entre la figura original y la proyectada, ambas pueden tener o no las mismas dimensiones. Acá lo importante es que el centro queda en el medio de las dos.

La homotecia, según las investigaciones, varía según el valor del factor K, en este orden.

  • Si el factor K es igual a 1, la figura homotética coincide perfectamente con la original.
  • Si el factor K es distinto a 1, el único punto fijo es el centro de la homotecia.
  • Si el factor K es menor que 1, la figura homotecia sufrirá una rotación de 180 grados.
  • Si el factor K es mayor que 1, la figura homotecia será mayor o más grande que la figura original.
  • Si 0 es menor que el factor K y menor que 1, el tamaño de la figura proyectada será menor que la figura original.
  • Si -1 es menor que el factor K y menor que 0, el tamaño de la figura proyectada será menor que la figura original y estará virada.
  • Si el factor K es menor que -1, el tamaño de la figura proyectada será mayor y estará virada con respecto a la original.